Nel 1917 Einstein introduce la costante cosmologica Λ nelle equazioni del campo gravitazionale per ottenere un universo statico — il solo universo concepibile all'epoca. Dopo la scoperta dell'espansione cosmica da parte di Hubble (1929), Einstein la definì il suo "più grande errore". Ma la storia non finisce qui.
Equazioni di Einstein con Λ:
G_μν + Λg_μν = 8πG T_μν
Λ > 0 → repulsione cosmica (energia del vuoto)
Λ = 0 → universo di Minkowski o Friedmann
Λ < 0 → universo Anti-de Sitter (attrativo)
Valore osservato: Λ ≈ 1.1 × 10⁻⁵² m⁻²
Nel 1998, le osservazioni delle supernovae di tipo Ia da parte dei team di Perlmutter e Riess-Schmidt rivelarono che l'espansione dell'universo sta accelerando. Questo richiede Λ > 0 (o qualcosa di equivalente). La costante cosmologica è oggi la componente dominante dell'universo: l'energia oscura, circa il 68% del contenuto energetico totale. Premio Nobel 2011.
Nel 1917, Willem de Sitter trovò una soluzione delle equazioni di Einstein con Λ > 0 e senza materia (T_μν = 0): lo spazio-tempo di de Sitter. È il modello del vuoto cosmologico puro dominato dalla costante cosmologica — e descrive sia l'inflazione cosmica primordiale che il futuro lontano del nostro universo.
Metrica di Friedmann-Lemaître (de Sitter):
ds² = −dt² + e^{2Ht}(dx² + dy² + dz²)
con parametro di Hubble:
H = √(Λ/3) (costante per de Sitter puro)
Fattore di scala: a(t) = e^{Ht} (esponenziale!)
Raggio di Hubble: d_H = c/H (orizzonte fisico)
Distanza comovente percorribile: d_max = c/H
L'espansione esponenziale ha conseguenze profonde: qualunque struttura a scale maggiori di d_H = c/H si allontana da noi a velocità superluminale (non viola la relatività: non è la materia a muoversi, ma lo spazio che si espande). Le galassie oltre l'orizzonte di Hubble diventeranno per noi per sempre irraggiungibili. Il tempo proprio degli osservatori scorre, ma lo spazio si dilata esponenzialmente.
Lo spazio di de Sitter può essere rappresentato come un iperboloide 4D immerso in uno spazio piatto 5D con firma (−, +, +, +, +). Il diagramma di Penrose-Carter di de Sitter è un quadrato: i bordi orizzontali sono le sezioni spaziali passato e futuro (ℐ⁻ e ℐ⁺), i bordi verticali sono le singolarità dei coordinati polari.
Compattificazione conforme di de Sitter:
ds²_dS = Ω⁻²(−dT² + dΩ²_3)
T ∈ (−π/2, π/2) [coordinata conforme]
Struttura causale:
ℐ⁻ (bordo passato): T = −π/2 (spacelike)
ℐ⁺ (bordo futuro): T = +π/2 (spacelike)
Orizzonte cosmologico: diagonale 45° dal polo
Ogni osservatore vede solo un quarto del dS
La caratteristica chiave del diagramma dS: il confine futuro ℐ⁺ è di tipo spaziale — ogni osservatore termina nell'infinito futuro su ℐ⁺. Ogni geodetiche timelike futuro-diretta raggiunge ℐ⁺. L'orizzonte cosmologico è la diagonale a 45° che divide ciò che un osservatore al polo può vedere da ciò che non può vedere: ogni punto nello spazio-tempo dS ha un orizzonte cosmologico personale.
Ogni osservatore in de Sitter ha un orizzonte cosmologico a distanza d_H = c/H. È l'analogo dell'orizzonte degli eventi del buco nero: informazione oltre tale soglia è causalmente disconnessa dall'osservatore. Gibbons e Hawking (1977) dimostrarono che questo orizzonte emette radiazione termica — la temperatura di de Sitter.
Temperatura di Hawking-de Sitter (Gibbons-Hawking):
T_dS = ℏH / (2πk_B)
con H = √(Λ/3):
T_dS = ℏ√(Λ/3) / (2πk_B)
Per Λ osservato:
T_dS ≈ 2.3 × 10⁻³⁰ K (ultra-freddo)
Entropia dell'orizzonte:
S_dS = πc³/(GH²ℏ) = A_orizzonte / (4l²_P)
La temperatura di de Sitter è incredibilmente piccola per il nostro universo attuale (~10⁻³⁰ K) — irrilevante praticamente ma fondamentalmente reale. Per un universo inflazionario (H_inf ~ 10¹³ GeV), T_dS può arrivare a ~10⁹ GeV, con implicazioni per le fluttuazioni quantistiche primordiali che formano le strutture cosmiche. Questo è il legame tra inflazione e CMB.
La teoria inflazionaria (Guth 1981, Linde, Starobinsky, Albrecht-Steinhardt) propone che il primissimo universo (~10⁻³⁶ s dopo il Big Bang) attraversò una fase di espansione esponenziale rapida, descritta approssimativamente da uno spazio di de Sitter con H_inf enormissimo. Questa fase risolve i problemi della cosmologia standard.
Problemi risolti dall'inflazione:
Piattezza: Ω_tot ≈ 1 (qualunque Ω₀)
Orizzonte: CMB omogenea a scale disconnesse
Monopoli magnetici: diluiti
Fluttuazioni primordiali:
δρ/ρ ∝ H²/(2πφ̇) (dalla T_dS)
→ seme delle strutture cosmiche
Durata inflazione: N_e = H_inf × Δt ≥ 60 e-fold
Il dettaglio più elegante: durante l'inflazione, le fluttuazioni quantistiche del vuoto (equivalenti alla radiazione di Hawking-dS) vengono "congelate" dall'espansione quando escono dall'orizzonte. Rientrano nell'orizzonte dopo la fine dell'inflazione come perturbazioni di densità classiche — le stesse che formano galassie e strutture cosmiche. Il nostro universo è letteralmente nato dalle fluttuazioni quantistiche del vuoto.
Per AdS, la corrispondenza AdS/CFT è ben stabilita e testata. Per de Sitter — la geometria del nostro universo reale — Andrew Strominger propose nel 2001 una congettura analoga: la dualità dS/CFT. Il bordo futuro ℐ⁺ di de Sitter ospiterebbe una CFT euclidea in d-1 dimensioni.
Congettura dS/CFT (Strominger 2001):
QG in dS_{d+1} ↔ CFT_d euclidea su ℐ⁺
Funzione di partizione:
Z_CFT[φ₀] = Ψ_dS[φ₀] (funzione d'onda del cosmo)
Differenza chiave con AdS/CFT:
ℐ⁺ è spacelike (non timelike come il bordo AdS)
→ la CFT duale è euclidea, non lorentziana
→ interpretazione quantistica non chiara
dS/CFT rimane molto più speculativa di AdS/CFT. Il bordo di tipo spaziale rende l'interpretazione probabilistica della CFT duale problematica. Witten (2001) e Maldacena (2011) hanno contribuito con formulazioni alternative. Il problema fondamentale: il nostro universo è de Sitter, ma non sappiamo ancora costruire una teoria quantistica della gravità per geometrie de Sitter con la stessa precisione di AdS. La CCC di Penrose offre un'alternativa radicalmente diversa.