La fisica del Modello Standard nasconde un problema di naturalezza profondo. La massa del bosone di Higgs misurata sperimentalmente è circa 125 GeV. Ma la scala di Planck — la scala a cui la gravità diventa quantistica — è circa 10¹⁹ GeV. Queste due scale differiscono di 17 ordini di grandezza.
Il problema è che le correzioni quantistiche ai loop alla massa dell'Higgs sono dell'ordine della scala di cutoff UV al quadrato: δm²_H ~ Λ²_UV. Se la fisica nuova compare a E_P, allora le correzioni dovrebbero portare m_H ≈ E_P — non 125 GeV. Per ottenere la massa osservata servirebbe una cancellazione fine-tuned di 34 cifre significative tra i parametri nudi e le correzioni. Questa è una coincidenza considerata fisicamente inaccettabile: il problema della gerarchia.
La supersimmetria offre una soluzione elegante e naturale: per ogni particella bosonica che contribuisce positivamente ai loop vi è un superpartner fermionico con contributo uguale e opposto. La cancellazione è automatica — protetta dalla simmetria.
δm²_H ~ Λ²_UV (loop bosonici)
− δm²_H ~ Λ²_UV (loop fermionici SUSY)
→ δm²_H |_{SUSY} = 0 (cancellazione esatta!)
Tutte le particelle fondamentali conosciute appartengono a due grandi famiglie, definite dal loro spin.
I fermioni hanno spin semi-intero (1/2, 3/2, ...) e seguono la statistica di Fermi-Dirac: non possono occupare lo stesso stato quantistico (principio di esclusione di Pauli). I fermioni costituiscono la materia: quark (u, d, s, c, b, t), leptoni (elettrone, muone, tau, neutrini). La loro natura antisimmetrica è il motivo per cui la materia è solida e stabile.
I bosoni hanno spin intero (0, 1, 2, ...) e seguono la statistica di Bose-Einstein: possono occupare lo stesso stato quantistico in numero illimitato. I bosoni mediano le interazioni fondamentali: il fotone (elettromagnetismo, spin 1), i gluoni (forza forte, spin 1), W e Z (forza debole, spin 1), il bosone di Higgs (spin 0), e il gravitone (spin 2).
La SUSY stabilisce una simmetria fondamentale tra questi due mondi: ogni fermione ha un partner bosonico e viceversa, con proprietà identiche (salvo lo spin) se la SUSY è esatta.
Fermioni: spin ½, 3/2, ... → statistica Fermi-Dirac
Bosoni: spin 0, 1, 2, ... → statistica Bose-Einstein
La supersimmetria è una simmetria dello spaziotempo generata dall'operatore Q (supercarica o generatore SUSY). Questo operatore trasforma bosoni in fermioni e viceversa:
L'algebra SUSY è una superalgebra di Lie: un'algebra graduata che contiene sia commutatori (relazioni bosoniche) sia anticommutatori (relazioni fermioniche). La relazione fondamentale — che distingue la SUSY da ogni altra simmetria interna — è l'anticommutatore tra Q e la sua coniugata Q̄:
Q|bosone⟩ = |fermione⟩, Q|fermione⟩ = |bosone⟩
{Q_α, Q̄_β̇} = 2σ^μ_{αβ̇} P_μ
[Q, P_μ] = 0, [Q, M_μν] = σ_μν Q
L'equazione {Q, Q̄} = 2σ^μ P_μ è straordinaria: l'anticommutatore di due supercariche produce il generatore delle traslazioni P_μ — cioè il momento-energia. Questo significa che la SUSY non è una simmetria interna ma una simmetria dello spaziotempo: è profondamente intrecciata con la geometria. Questo è il teorema di Haag-Łopuszański-Sohnius (1975): la SUSY è l'unica estensione possibile dell'algebra di Poincaré compatibile con l'unitarietà della matrice S.
Se la SUSY è una simmetria della natura, ogni particella del Modello Standard deve avere un superpartner con spin che differisce di 1/2 e con la stessa carica, massa (se SUSY esatta) e numeri quantici interni.
I partner dei fermioni (spin 1/2) sono sfermioni (spin 0): lo squark (partner del quark), il selettrone (partner dell'elettrone), lo sneutrino (partner del neutrino). I partner dei bosoni di gauge (spin 1) sono gaugini (spin 1/2): il fotino (partner del fotone), il gluino (partner del gluone), i wino e zino (partner di W e Z). Il partner dell'Higgs (spin 0) è l'higgsino (spin 1/2). Il partner del gravitone (spin 2) è il gravitino (spin 3/2). Se la SUSY è rotta, i superpartner sono più pesanti delle particelle SM corrispondenti.
quark (½) ↔ squark (0)
fermione (½) ↔ sfermione (0)
fotone (1) ↔ fotino (½)
graviton (2) ↔ gravitino (3/2)
La teoria 𝒩=4 Super Yang-Mills (SYM) è la teoria di gauge con il più alto numero di supersimmetrie possibili in quattro dimensioni di spaziotempo. "𝒩=4" indica quattro supercariche indipendenti Q_a (con a=1,2,3,4).
Il contenuto di campi è completamente determinato dalla simmetria: un bosone di gauge A_μ (spin 1), sei scalari reali φ_I (con I=1,...,6, spin 0), e quattro spinori di Weyl λ_a (spin 1/2). Tutti questi campi trasformano nella rappresentazione aggiunta del gruppo di gauge SU(N). Nessun parametro libero aggiuntivo (a parte g_YM e N): la simmetria fissa completamente la struttura della teoria.
Il gruppo di simmetria globale è SU(2,2|4) — la superalgebra conforme in 4D — che include il gruppo conforme SO(2,4) ≅ SU(2,2) e il gruppo di R-simmetria SO(6) ≅ SU(4). Queste simmetrie coincidono esattamente con le isometrie di AdS₅×S⁵.
L = Tr(-¼F²_μν - ½(D_μφ_I)² + ¼[φ_I,φ_J]²
+ fermioni + Yukawa)
Gruppo di gauge: SU(N), 4 supercariche
Nelle teorie di gauge ordinarie come QED e QCD, la costante di accoppiamento scorre con l'energia secondo il gruppo di rinormalizzazione (RG). La funzione beta β(g) = μ ∂g/∂μ descrive questo scorrimento: nella QCD, β < 0 (libertà asintotica); nella QED, β > 0 (accoppiamento che cresce verso l'UV).
In 𝒩=4 SYM accade qualcosa di straordinario: la funzione beta è esattamente zero a tutti gli ordini in teoria perturbativa — e, come dimostrato più tardi, anche a livello non-perturbativo. La costante di accoppiamento g_YM non scorre: mantiene lo stesso valore a tutte le scale di energia.
La teoria è quindi esattamente conforme per qualsiasi valore di g_YM e N. Questo significa che 𝒩=4 SYM non ha una scala caratteristica — è invariante sotto dilatazioni e trasformazioni conformi dello spaziotempo. È questa proprietà che la rende una CFT (Conformal Field Theory) e la candidata ideale per il lato bordo di AdS/CFT.
β(g_YM) = 0 (esatta, tutti gli ordini)
→ g_YM non scorre con l'energia
→ teoria conforme per qualsiasi g_YM e N
La teoria 𝒩=4 SYM ha due parametri: la costante di accoppiamento g_YM e il rango N del gruppo di gauge SU(N). Gerard 't Hooft (1974) propose di studiare un limite speciale: N → ∞ mantenendo fissa la costante di 't Hooft λ = g²_YM N. In questo limite la teoria semplifica enormemente.
Il motivo è topologico: ogni diagramma di Feynman contribuisce con una potenza di N determinata dalla sua topologia. Un diagramma con topologia di una superficie di genere g (g buchi) contribuisce come N^{2-2g}. Nel limite N → ∞ sopravvivono solo i diagrammi planari (g=0, superficie sferica): quelli che possono essere disegnati su un piano senza incroci di propagatori. I diagrammi non-planari (g≥1) sono soppressi da potenze di 1/N².
Questo limite ha un'interpretazione sorprendente: la somma dei diagrammi planari di una teoria di gauge è simile alla teoria delle stringhe. λ grande corrisponde al regime in cui la supergravità classica nel bulk AdS è una buona approssimazione — il regime in cui AdS/CFT è più utile.
λ = g²_YM N (costante di 't Hooft)
N→∞ con λ fisso: solo diagrammi planari
Ampiezza ~ N^{2-2g} (g = numero di handles)
La SUSY esatta prevederebbe superpartner con la stessa massa delle particelle SM — ma nessuno squark o selectron a 100 GeV è mai stato osservato. La SUSY deve essere rotta spontaneamente a una scala M_SUSY sufficientemente alta da spiegare l'assenza di segnali agli acceleratori attuali.
La rottura spontanea di SUSY avviene quando il campo ausiliario F (o D) acquista un valore di aspettazione nel vuoto non nullo: ⟨F⟩ ≠ 0. Il goldstino — il fermione di Goldstone della rottura di SUSY — viene "mangiato" dal gravitino attraverso il meccanismo di super-Higgs, dando al gravitino una massa m_{3/2} ~ ⟨F⟩/M_P.
L'LHC a CERN ha cercato superpartner fino a masse di circa 2-3 TeV senza trovarli. Questo non esclude la SUSY, ma pone vincoli sulla scala di rottura. La SUSY potrebbe essere rotta a scale molto alte (SUSY split o high-scale SUSY), o i superpartner potrebbero avere masse o configurazioni di decadimento che li rendono difficili da osservare. Nonostante i risultati negativi dell'LHC, la SUSY rimane la motivazione teorica principale di AdS/CFT.
M_SUSY > TeV (da assenza di segnali LHC)
m_gravitino ~ ⟨F⟩/M_P
⟨F⟩^{1/2} ~ 10^{10-11} GeV (rottura mediata per gravità)