La teoria delle stringhe propone di sostituire le particelle puntiformi con oggetti estesi unidimensionali: le stringhe. La lunghezza caratteristica è la lunghezza di stringa l_s = √α', dove α' (alfa primo) è la tensione della stringa.
Le stringhe possono essere aperte (con due estremi liberi) o chiuse (loop). Quando una stringa chiusa oscilla nei suoi modi fondamentali, produce lo spettro delle particelle fondamentali — incluso il gravitone (spin 2, massa zero), che compare automaticamente nello spettro della stringa chiusa. La gravità è incorporata dalla teoria delle stringhe in modo naturale.
l_s = √α' ≈ 10⁻³³ cm (lunghezza di stringa)
M_n² = n/α' (spettro di massa)
→ n=0: particelle senza massa (fotone, gravitone, ...)
→ n>0: modi massivi (massa ~ M_P)
Quando si quantizza la stringa con i metodi della meccanica quantistica, emerge un requisito di consistenza: il numero di dimensioni spaziotemporali deve essere esattamente D=10 per la supercorda (con fermioni) o D=26 per la stringa bosonica (senza fermioni). Se D è diverso, la teoria è quantisticamente inconsistente (anomalie di Weyl sul worldsheet).
Le 6 dimensioni extra (nel caso D=10) sono invisibili perché compattificate su una varietà interna molto piccola (tipicamente una varietà di Calabi-Yau con diametro ~ l_s).
D = 10 (supercorda, con SUSY)
D = 26 (stringa bosonica)
6 dimensioni extra compattificate su CY₆
raggio compattificazione R ~ l_s
In 10 dimensioni esistono cinque teorie di stringa quantisticamente consistenti:
(1) Tipo I: stringhe aperte + chiuse, gruppo SO(32). (2) Tipo IIA: stringhe chiuse non-chirali, con D-brane pari (D0, D2, D4, D6, D8). (3) Tipo IIB: stringhe chiuse chirali, con D-brane dispari (D(-1), D1, D3, D5, D7, D9). (4) HO (Heterotic SO(32)): stringa ibrida chiusa. (5) HE (Heterotic E₈×E₈): stringa ibrida chiusa.
Sembrano diverse ma sono tutte collegate da dualità.
Tipo I: SO(32), stringhe aperte+chiuse
Tipo IIA: non-chirale, D-brane pari
Tipo IIB: chirale, D-brane dispari
HO: Heterotic SO(32)
HE: Heterotic E₈×E₈
La dualità T afferma che la teoria di stringa compattificata su un cerchio di raggio R è fisicamente identica alla teoria compattificata su un cerchio di raggio α'/R. Grande e piccolo sono equivalenti!
Questo ha una conseguenza sorprendente: le stringhe si comportano diversamente dai punti materiali a piccole distanze — invece di "vedere" distanze più piccole, vedono distanze più grandi. La dualità T scambia i tipi IIA ↔ IIB e scambia modi di Kaluza-Klein (winding) con modi di momento.
R ↔ α'/R (dualità T)
IIA su R ≅ IIB su α'/R
Momento: p = n/R ↔ Winding: M = wR/α'
La dualità S scambia il regime di accoppiamento forte con il regime debole: g_s ↔ 1/g_s. Una teoria a forte accoppiamento (difficile da calcolare) è equivalente a un'altra teoria a debole accoppiamento (facile da calcolare).
Connessioni: Tipo I ↔ HO (scambia le teorie). IIB ↔ IIB (autoduale!). IIA a forte accoppiamento → M-teoria (11 dimensioni). La dualità S è non-perturbativa: non può essere verificata perturbativamente, ma ha evidenze precise dalla corrispondenza di stati BPS (stati protetti dalla SUSY).
g_s ↔ 1/g_s (dualità S)
Tipo I (g_s) ≅ HO (1/g_s)
IIB (g_s) ≅ IIB (1/g_s) [autoduale]
IIA (g_s→∞) → M-teoria in 11D
Tutte e cinque le teorie di stringa sono limiti di un'unica teoria in 11 dimensioni: la M-teoria. La M-teoria non ha una formulazione completa, ma sappiamo alcune cose: il suo limite di bassa energia è la SUGRA 11D.
Contiene membrane 2D (M2-brane) e membrane 5D (M5-brane) invece di stringhe. La decima dimensione extra di IIA emerge dalla M-teoria quando l'accoppiamento g_s → ∞ (la dimensione ha raggio R_{11} = g_s l_s). Perché "M"? Forse: Misteriosa, Madre, Membrana, Magia.
SUGRA 11D = limite bassa energia di M-teoria
M-teoria → IIA: R_{11} = g_s l_s
M-teoria → IIB: compattificazione su T²
M-teoria → HE: compattificazione su S¹/ℤ₂
Le D-brane (Dirichlet-brane) sono ipersuperfici su cui si ancorano le estremità delle stringhe aperte. Una Dp-brana ha p dimensioni spaziali (p+1 dimensioni spaziotemporali). Le D-brane sono oggetti non-perturbativi: la loro tensione T_p ~ 1/(g_s l_s^{p+1}) scala con 1/g_s, quindi sono pesanti a debole accoppiamento.
Quando si sovrappongono N brane coincidenti, le N² stringhe aperte tra di esse generano una teoria di gauge SU(N). Questo è il punto di partenza per la derivazione di AdS/CFT: lo stack di N D3-brane genera la teoria 𝒩=4 SYM.
Dp-brana: p dimensioni spaziali
T_p ~ 1/(g_s l_s^{p+1}) (tensione)
N D3-brane coincidenti → SU(N) 𝒩=4 SYM
carica D3 → flusso della 5-forma RR