La supergravità (SUGRA) nasce quando si chiede che la supersimmetria sia una simmetria locale (cioè il parametro di trasformazione ε(x) dipende dal punto dello spaziotempo). Come la simmetria di gauge locale genera i bosoni di gauge, la SUSY locale genera il gravitone (spin 2, mediatore della gravità) e il suo superpartner: il gravitino (spin 3/2).
La SUGRA è il limite di bassa energia della teoria delle stringhe: quando l'energia è molto minore di 1/l_s, i modi massivi della stringa si disaccoppano e rimane la SUGRA.
SUSY globale → SUSY locale
→ gravitone (spin 2) + gravitino (spin 3/2)
L_SUGRA ~ e^{-1}(R - ψ̄_μ γ^{μνρ} ∇_ν ψ_ρ + ...)
(Legge di Newton come termine principale)
La SUGRA 11D è la teoria di supergravità massimale (con il numero massimo di supercariche, 32). È unica: non ha parametri liberi. Il supermultipletto 11D contiene:
(1) il gravitone g_μν (44 gradi di libertà bosonici on shell). (2) La 3-forma antisimmetrica A₃ (84 gradi di libertà). (3) Il gravitino ψ_μ (128 gradi di libertà fermionici).
Totale: 128 bosoni = 128 fermioni (equilibrio SUSY). Le equazioni del moto includono la 4-forma F₄ = dA₃. La SUGRA 11D è il limite di bassa energia della M-teoria.
SUGRA 11D: gravitone (44) + A₃ (84) + gravitino (128)
Totale bosoni = fermioni = 128
Equazione del moto: R_MN - ½g_MN R = T_MN[F₄]
F₄ = dA₃ (field strength della 3-forma)
Compattificando la SUGRA 11D su una 7-sfera S⁷, si ottiene la SUGRA 𝒩=8 in 4 dimensioni con spazio di vuoto AdS₄×S⁷. Il raggio di AdS₄ e di S⁷ sono uguali (in unità opportune).
Il gruppo di isometria di S⁷ è SO(8), che diventa il gruppo di simmetria R della SUGRA 4D. Questa compattificazione è rilevante per la dualità ABJM (Aharony-Bergman-Jafferis-Maldacena, 2008): la SUGRA in AdS₄ è duale a una teoria di gauge 3D (teoria di Chern-Simons con materia).
SUGRA 11D → compattifica su S⁷
→ SUGRA 𝒩=8 in 4D su AdS₄×S⁷
Simmetria: SO(2,3) × SO(8)
raggio AdS₄ = raggio S⁷ = l_P (2πN)^{1/6}
La compattificazione più importante per AdS/CFT è quella della SUGRA Tipo IIB su una 5-sfera S⁵. Si ottiene la SUGRA 𝒩=8 in 5 dimensioni con spazio di vuoto AdS₅×S⁵.
Il gruppo di isometria di S⁵ è SO(6) ≅ SU(4), che diventa il gruppo di simmetria R della 𝒩=4 SYM sul bordo. La metrica esatta della soluzione è: ds² = L²(ds²_{AdS₅} + ds²_{S⁵}) con L il raggio di AdS (uguale al raggio di S⁵). Questa è la geometria del bulk in AdS₅/CFT₄.
SUGRA IIB → compattifica su S⁵
→ SUGRA in 5D su AdS₅×S⁵
ds² = L²(ds²_{AdS₅} + dΩ²_{S⁵})
SO(2,4) × SO(6) = simmetria di AdS₅×S⁵
La geometria AdS₅×S⁵ è una soluzione esatta delle equazioni del moto della SUGRA IIB, con N unità di flusso della 5-forma auto-duale F₅ che scorre attraverso S⁵. Le equazioni del moto con questa sorgente impongono che il raggio sia L⁴ = 4πg_s N α'².
Questo collega: g_s (accoppiamento della stringa), N (numero di brane, = numero di unità di flusso), α' (tensione della stringa), e L (raggio AdS). Nel limite g_s N → ∞ il raggio è grande e la curvatura è piccola: la SUGRA è valida.
L⁴ = 4πg_s N α'² (raggio AdS₅ = raggio S⁵)
λ = g²_YM N = 4πg_s N = (L/l_s)⁴
SUGRA valida per λ ≫ 1 (curv. piccola)
CFT perturbativa per λ ≪ 1
Quando la SUSY si rompe, il gravitino (il superpartner del gravitone) acquista massa attraverso il meccanismo di Higgs gravitazionale (Super-Higgs). Il campo di Goldstone fermionico (goldstino) viene "mangiato" dal gravitino che diventa massivo.
La massa del gravitino è: m_{3/2} ~ ⟨F⟩/M_P, dove ⟨F⟩ è il valore di aspettazione del campo F che rompe la SUSY, e M_P è la massa di Planck. In alcuni modelli (SUGRA mediata), m_{3/2} ~ 100 GeV - 1 TeV, il che ha implicazioni per la fenomenologia del gravitino come dark matter.
m_{3/2} = ⟨F⟩/(√3 M_P) (massa gravitino)
⟨F⟩^{1/2} ~ 10^{10} GeV (med. gravitazionale)
m_{3/2} ~ 100 GeV − 10 TeV (massa risultante)
Gravitino come dark matter (LSP in alcuni modelli)
La SUGRA è una teoria di campo effettiva (EFT) valida a energie E ≪ 1/l_s. Oltre la scala di stringa, entrano in gioco i modi massivi della stringa (torre di Kaluza-Klein + modi di stringa eccitati) e la SUGRA non è più sufficiente.
In AdS/CFT, si usa la SUGRA come approssimazione del lato bulk quando λ = g²_YM N ≫ 1 (costante di 't Hooft grande). In questo regime: la curvatura di AdS è piccola (raggio grande), i modi massivi della stringa hanno massa grande e si disaccoppiano, e la SUGRA classica è una buona approssimazione.
SUGRA valida: E ≪ 1/l_s (α' → 0 con λ fisso)
Regime AdS/CFT: λ = (L/l_s)⁴ ≫ 1
→ SUGRA classica ≅ lato bulk
Correzioni: O(α'/L²) = O(1/√λ)