Lo spaziotempo può avere tre tipi di curvatura costante. De Sitter (dS): curvatura positiva, Λ>0. È il modello dell'universo in espansione accelerata — simile al nostro cosmo. Minkowski: curvatura zero, Λ=0. È lo spaziotempo piatto della relatività speciale. Anti-de Sitter (AdS): curvatura negativa, Λ<0. È lo spazio della fisica teorica fondamentale — non esiste in natura ma è al cuore di AdS/CFT. La costante cosmologica per AdS in d+1 dimensioni è negativa:
Λ > 0 → de Sitter (cosmo reale)
Λ = 0 → Minkowski (SR piatta)
Λ < 0 → Anti-de Sitter (AdS/CFT)
Λ = -d(d-1)/(2L²) per AdS_{d+1}
AdSd+1 può essere definito come l'iperboloide immerso nello spazio piatto ℝ2,d: X²-1 + X²0 - X²1 - … - X²d = L². Questo iperboloide ha il gruppo di isometria SO(2,d) (le rotazioni in ℝ2,d che preservano la forma quadratica). Per AdS₅ (d=4), il gruppo di isometria è SO(2,4) — che è esattamente il gruppo conforme del bordo 4-dimensionale. Questa coincidenza non è casuale: è il cuore matematico della dualità AdS/CFT.
AdS_{d+1}: X²₋₁ + X²₀ - Σᵢ X²ᵢ = L² (in ℝ^{2,d})
Isometria: SO(2,d)
AdS₅: SO(2,4) ≅ gruppo conforme 4D ← chiave!
Le coordinate di Poincaré sono le più usate in AdS/CFT. La metrica è:
ds² = (L²/z²)(dz² + η_{μν}dx^μdx^ν)
La coordinata z è la coordinata radiale: z→0 è il bordo (dove vive la CFT), z→∞ è il centro o profondità IR. Il fattore L²/z² fa sì che la geometria sia iperbolica: le distanze aumentano enormemente vicino al bordo. Un campo bulk φ(x,z) ha un'espansione vicino al bordo:
ds² = (L²/z²)(dz² + η_{μν}dx^μdx^ν)
z → 0: bordo (UV della CFT)
z → ∞: centro AdS (IR della CFT)
φ(z) ~ φ₀ z^{d-Δ} + ⟨O⟩ z^Δ
Le geodetiche (le "linee rette") nello spazio iperbolico di Poincaré sono semicerchi ortogonali al bordo. Questa geometria non-euclidea ha conseguenze fisiche notevoli: un fotone emesso dal bulk verso il bordo ci arriva in tempo finito! Il bordo è "raggiungibile" in tempo finito dalla luce. Questo significa che AdS richiede condizioni al contorno sul bordo per essere spaziotemporalmente completo — le condizioni al contorno sono esattamente la CFT. Le geodetiche che collegano due punti del bordo passano attraverso il bulk, e la loro lunghezza corrisponde alla funzione di correlazione CFT.
ds²_{Poincaré} = (L²/z²)(dz² + dx²)
Geodetiche: semicerchi con centro sul bordo z=0
Tempo di volo: t = π L/2 (finito!)
⟨O(x₁)O(x₂)⟩ ~ e^{-m·L_{geodetica}}
Il bordo di AdS è una struttura d-dimensionale su cui vive la CFT. Tecnicamente è il "bordo conforme" (conformal boundary): i raggi di luce ci arrivano in tempo finito, il che significa che lo spaziotempo AdS non è globalmente iperbolico senza condizioni al contorno. L'operazione di "olografia" consiste nel prendere il limite z→0 di tutti gli oggetti del bulk (campi, geodetiche, superfici minimali). La struttura al bordo è conforme — invariante sotto riscalamento — il che è esattamente la simmetria di una CFT. Il bordo non è uno spazio fisico separato: è il limite asintotico del bulk AdS.
Bordo conforme: z → 0 in coordinate di Poincaré
Metrica indotta: ds²_{bordo} = η_{μν}dx^μdx^ν (a meno di fattore conforme)
Operazione di olografia: lim_{z→0} z^{Δ-d} φ(x,z) = φ₀(x) = sorgente CFT
La metrica AdS-Schwarzschild è una soluzione esatta con un buco nero nel bulk. Il buco nero ha un orizzonte degli eventi a r=r+. La temperatura di Hawking del buco nero è:
ds²_{AdS-Schw} = -(r²/L² + 1 - r²₊/r²)dt² + ...
T_Hawking = r₊/(πL²)
T_CFT = T_Hawking [corrispondenza]
Hawking-Page: T_c = 1/(πL) (transiz. di fase)
In AdS/CFT, questa temperatura è esattamente uguale alla temperatura termica della CFT sul bordo: il buco nero corrisponde a uno stato termico della CFT. La transizione di Hawking-Page (piccolo BH ↔ grande BH) corrisponde a una transizione di fase termodinamica nella CFT.
Il cuore matematico di AdS/CFT è la corrispondenza esatta tra le simmetrie dei due lati. Il gruppo di isometria di AdS₅ è SO(2,4). Il gruppo conforme in 4D (Minkowski) è anch'esso SO(2,4). Questa coincidenza non è accidentale: le isometrie del bulk devono corrispondere alle simmetrie globali della CFT, perché le isometrie che raggiungono il bordo diventano simmetrie della CFT. Analogamente, le isometrie di S⁵ formano SO(6) ≅ SU(4), che è la simmetria R di 𝒩=4 SYM. La geometria codifica la simmetria della teoria duale.
SO(2,4) = isometria AdS₅ = gruppo conforme 4D ✓
SO(6) = isometria S⁵ = simmetria R di 𝒩=4 SYM ✓
SO(6) ≅ SU(4) (doppia copertura)
Simmetria totale: SO(2,4) × SO(6) ↔ 𝒩=4 SYM