Le trasformazioni conformi sono trasformazioni che preservano gli angoli ma non le distanze — un cambiamento di scala locale. Il gruppo conforme in 4D include: (1) Poincaré (10 parametri): traslazioni e rotazioni. (2) Dilatazioni (1 parametro): x → λx. (3) Trasformazioni conformi speciali (SCT, 4 parametri): xμ → (xμ − bμx²)/(1 − 2b·x + b²x²). Totale: 15 parametri = dimensione del gruppo SO(2,4). Una teoria è conforme se la sua azione è invariante sotto tutte queste trasformazioni — equivalentemente, il tensore energia-impulso è privo di traccia: Tμμ = 0.
Gruppo conforme 4D = SO(2,4), 15 parametri:
• Poincaré: 10 (traslazioni + rotazioni/boost)
• Dilatazione: 1 (x → λx)
• SCT: 4 (x → (x-bx²)/(1-2bx+b²x²))
Condizione: T^μ_μ = 0 (traccia nulla)
In una CFT, i mattoni fondamentali sono gli operatori primari. Ogni operatore primario O(x) è caratterizzato dalla sua dimensione conforme Δ (un numero reale positivo) e dallo spin l. Sotto dilatazione x→λx:
O_Δ(x) → λ^{-Δ} O_Δ(λx) [dilatazione]
O(x) → |∂x'/∂x|^{Δ/d} O(x') [gen. conforme]
Dati CFT: {Δᵢ, lᵢ, C^k_{ij}}
(dimensioni, spin, costanti OPE)
Gli operatori discendenti si ottengono applicando Pμ (traslazioni) agli operatori primari — sono anch'essi operatori della teoria ma non sono "nuovi" mattoni. Lo spettro degli operatori primari {Δi, li} classifica completamente la CFT (dati CFT).
L'invarianza conforme fissa quasi completamente la forma delle funzioni di correlazione. A 2 punti: ⟨O(x)O(y)⟩ = CO/|x−y|2Δ — completamente determinata! A 3 punti: determinata a meno della costante C123 (costante OPE). A 4 punti: compare una funzione arbitraria dei cross-ratios (rapporti anarmonici) — non fissata dalla simmetria.
⟨O(x)O(y)⟩ = C_O / |x−y|^{2Δ}
⟨O₁O₂O₃⟩ = C₁₂₃ / (|x₁₂|^{a} |x₁₃|^{b} |x₂₃|^{c})
⟨O₁O₂O₃O₄⟩ = f(u,v) / (prodotto di potenze)
u = |x₁₂|²|x₃₄|²/(|x₁₃|²|x₂₄|²) (cross-ratio)
In 2 dimensioni spaziotemporali, il gruppo conforme diventa infinito-dimensionale: ci sono infiniti parametri di trasformazione (qualunque funzione olomorfa z→f(z) è una trasformazione conforme). I generatori Ln (n∈ℤ) soddisfano l'algebra di Virasoro:
[L_m, L_n] = (m-n)L_{m+n} + c/12 (m³−m) δ_{m+n,0}
c = 1 (bosone libero), c = 1/2 (fermione Majorana)
Stato fondamentale: L₀|h⟩ = h|h⟩ (peso conforme h)
Teor. c: c_{UV} > c_{IR} lungo flusso RG
La carica centrale c misura il numero effettivo di gradi di libertà della CFT 2D. Il teorema c di Zamolodchikov: il flusso RG in 2D riduce sempre c.
Una CFT è precisamente il punto fisso del gruppo di rinormalizzazione (RG). Il flusso RG descrive come la teoria cambia con la scala di energia: a ogni scala l'accoppiamento assume un valore diverso. Un punto fisso è dove il flusso si ferma:
β(g) = μ ∂g/∂μ (funzione beta)
Punto fisso: β(g*) = 0
CFT: teoria al punto fisso → scale invariant
Flusso RG: CFT_{UV} → massa → CFT_{IR}
Al punto fisso, la teoria è invariante per scala — uguale a tutte le scale. Non c'è una scala caratteristica. Fisicamente: la teoria descrive un sistema critico, privo di lunghezza di correlazione.
La teoria 𝒩=4 Super Yang-Mills è una CFT eccezionale: è conforme per qualsiasi valore di gYM e N — non solo al punto fisso. La funzione beta è esattamente zero a tutti gli ordini:
β(g_YM) = 0 (esatta, tutti gli ordini)
λ = g²_YM N → λ ≪ 1: perturbativa
λ ≫ 1: SUGRA classica in AdS₅
Simmetria: PSU(2,2|4) (superconforme)
La costante di accoppiamento di 't Hooft λ = g²YM N determina il regime fisico. A λ grande: equivalente a SUGRA classica in AdS₅ (AdS/CFT). La teoria ha anche simmetria superconforme PSU(2,2|4): 32 supercariche.
Il bootstrap conforme è un programma per determinare sistematicamente tutte le CFT consistenti. La chiave è l'OPE (Operator Product Expansion): il prodotto di due operatori vicini è espandibile in una serie di operatori:
O_i(x)O_j(0) ~ Σ_k C^k_{ij} |x|^{Δ_k-Δ_i-Δ_j} O_k(0)
Crossing symmetry: vincoli su {Δ_k, C^k_{ij}}
Bootstrap: max/min Δ soggetto a positività
→ bounds precisi sullo spazio delle CFT
La consistenza della OPE (simmetria di crossing) impone vincoli sugli esponenti Δ e le costanti C. Usando la disuguaglianza di bootstrap (Rattazzi-Rychkov-Tonni-Vichi 2008), si possono ottenere bounds precisi sulle dimensioni degli operatori — in molti casi con precisione > 10 cifre significative!
Il teorema c di Zamolodchikov (1986, 2D): c è una funzione monotonamente decrescente lungo il flusso RG. Ovvero: cUV ≥ cIR. La CFT UV ha sempre più gradi di libertà della CFT IR. In 4D, il teorema analogo è il teorema a (Cardy 1988, dimostrato da Komargodski-Schwimmer 2011): la carica anomala a (coefficiente dell'anomalia di Weyl) decresce lungo il flusso.
Teorema c (2D): c_{UV} ≥ c_{IR} [Zamolodchikov 1986]
Teorema a (4D): a_{UV} ≥ a_{IR} [KS 2011]
Entropia: s ~ c T^{d-1}
Anomalia di Weyl: W = a E₄ - c W²_μνρσ + ...