Nella meccanica quantistica, due sistemi possono essere entangled — correlati in modo non-classico. L'entropia di entanglement misura quantitativamente queste correlazioni. Data una bipartizione del sistema in regioni A e Ā, si definisce la matrice densità ridotta ρ_A = Tr_Ā |ψ⟩⟨ψ| e poi l'entropia di von Neumann.
S_A = −Tr(ρ_A log ρ_A) (entropia di von Neumann)
ρ_A = Tr_{Ā} |ψ⟩⟨ψ| (matrice densità ridotta)
|ψ⟩ puro: S_A = 0 (no entanglement)
|ψ⟩ = (|↑↓⟩-|↓↑⟩)/√2: S_A = log 2 (max entangl.)
L'entropia di entanglement non è un'entropia termica: misura le correlazioni quantistiche intrinseche del vuoto/stato fondamentale. In una CFT 2D al vuoto, S_A ~ (c/3) log(|A|/ε) dove c è la carica centrale e ε è un cutoff UV — cresce logaritmicamente con la dimensione di A.
Nel 2006, Ryu e Takayanagi hanno scoperto una formula sorprendente: l'entropia di entanglement di una regione A nella CFT è calcolata dall'area della superficie minimale nel bulk di AdS che termina sui bordi di A.
S_A = Area(γ_A) / (4 G_N)
γ_A = superficie minimale in AdS con ∂γ_A = ∂A
G_N = costante di Newton in (d+1) dimensioni
→ formula analoga a Bekenstein-Hawking!
La formula è l'analogo olografico di Bekenstein-Hawking: l'entropia non è data dal volume ma dall'area. La superficie γ_A è chiamata "superficie RT" e si trova minimizzando l'area tra tutte le superfici nel bulk con lo stesso bordo ∂A.
Questo risultato è stato poi esteso (Hubeny-Rangamani-Takayanagi, HRT, 2007) al caso covariante (dipendente dal tempo), e ulteriormente generalizzato con correzioni quantistiche (formula QES). La formula RT è una delle scoperte più importanti della fisica teorica degli ultimi decenni.
La superficie RT γ_A si trova con un problema variazionale: tra tutte le superfici nel bulk che terminano su ∂A al bordo e sono omologhe ad A (possono essere deformate continuamente in A rimanendo nel bulk), si prende quella di area minima.
γ_A = arg min_{Σ: ∂Σ=∂A, Σ~A} Area(Σ)
Condizione: Σ omologa ad A nel bulk
→ variazione: δArea = 0 (equazione della geodetica)
In AdS₃: γ_A è una geodetica (curva di lunghezza min.)
In AdS₃ (2+1 dimensioni totali), le superfici RT sono curve — più precisamente geodetiche nello spazio iperbolico H². La loro geometria è ben nota: una corda nell'upper half-plane con metrica ds²=(dz²+dx²)/z².
La condizione di omogologia è importante: esclude soluzioni "topologicamente triviali". Ad esempio, per un intervallo A su una CFT a temperatura finita (con buco nero in AdS), ci sono due candidate γ_A — si prende quella di area minima, e questa scelta determina la transizione di fase olografica dell'entanglement.
Il test più diretto della formula RT si effettua in AdS₃/CFT₂, dove la CFT è bidimensionale (1+1D) e si possono calcolare entrambi i lati esattamente. Per un intervallo A = [u, v] in una CFT₂ al vuoto con carica centrale c:
CFT: S_A = (c/3) log(|u-v|/ε)
AdS: Area(γ_A)/4G_N = (c/3) log(|u-v|/ε)
con c = 3L/(2G_N) ← relazione tra c e G_N
Accordo ESATTO → conferma della formula RT
Il calcolo AdS: la geodetica che connette i punti (ε,u) e (ε,v) nell'upper half-plane ha lunghezza L log(|u-v|/ε). Moltiplicando per 1/(4G_N) si ottiene esattamente il risultato della CFT con la relazione c = 3L/(2G_N).
Questo accordo non è perturbativo: è esatto, valido a qualunque ordine. È uno dei test più precisi e convincenti della dualità AdS/CFT, ed è stato verificato per molte famiglie di CFT e geometrie AdS diverse.
La formula RT ha un'implicazione profondissima: la geometria del bulk è codificata nell'entanglement del bordo. Non è solo una formula per calcolare l'entropia — è una finestra sulla struttura fondamentale dello spazio-tempo.
ΔS_A = ΔArea(γ_A) / 4G_N
→ modificare l'entanglement = cambiare la geometria
Entanglement ridotto → bulk disconnesso
|ψ⟩ = |0⟩_L ⊗ |0⟩_R → geometria disconnessa (no wormhole)
|ψ⟩ = |TFD⟩ (entangled) → geometria connessa (wormhole)
Van Raamsdonk (2010) ha reso questa intuizione precisa: immaginate due copie identiche di CFT (CFT_L e CFT_R) in stato di vuoto — stato prodotto, nessun entanglement — la geometria AdS corrispondente è disconnessa (due spaziotempo separati). Se invece le due CFT sono nell'stato entangled TFD, la geometria è connessa attraverso un wormhole (buco nero eterno di AdS).
Ridurre l'entanglement significa "rompere" fisicamente la connettività del bulk. Lo spazio-tempo si tesse con l'entanglement.
La formula RT classica va corretta quando si includono le fluttuazioni quantistiche dei campi nel bulk. La generalizzazione è la formula della superficie a estremum quantistico (QES — Quantum Extremal Surface).
S_A = min_{γ} { Area(γ) / 4G_N + S_bulk(γ) }
S_bulk(γ) = entropia di entanglement dei campi bulk
separati dall'orizzonte γ
QES: min e poi extremum (Faulkner-Lewkowycz-Maldacena
+ Engelhardt-Wall 2014)
La formula QES somma due contributi: l'area classica della superficie (come in RT) e l'entropia di entanglement dei campi quantistici del bulk divisi dalla superficie stessa. Si cerca prima il minimo e poi l'extremum di questa somma.
Questa formula è fondamentale per risolvere il paradosso dell'informazione: le "isole" che compaiono nel calcolo dell'entropia della radiazione di Hawking sono proprio le superfici QES che minimizzano questa somma, e danno la corretta curva di Page per l'evaporazione del buco nero (come vedremo nel Cap. 13).
La mutual information I(A:B) misura le correlazioni totali (quantistiche + classiche) tra le regioni A e B — è sempre non-negativa e zero solo se A e B sono completamente decorrelati.
I(A:B) = S_A + S_B − S_{A∪B} ≥ 0
In AdS/CFT (RT):
I(A:B) = [Area(γ_A) + Area(γ_B) − Area(γ_{A∪B})] / 4G_N
→ geometrica, finita (UV divergences cancel)
Un vantaggio della mutual information RT: le divergenze UV si cancellano. Le singole entropie di entanglement RT divergono (area della superficie vicino al bordo), ma la mutual information è finita — una quantità fisicamente ben definita.
Nella mutual information olografica si può verificare un fatto sorprendente: esiste una transizione di fase al variare della separazione tra A e B. Quando A e B sono vicine, γ_{A∪B} = γ_A ∪ γ_B e I(A:B) > 0; quando sono lontane, γ_{A∪B} ha una topologia diversa e I(A:B) = 0. Questo è un segnale geometrico di decorrelazione.
L'entanglement quantistico è monogamo: se A è massimalmente entangled con B, non può esserlo con C. Matematicamente, questo è codificato nella strong subadditivity (SSA) dell'entropia di von Neumann — una disuguaglianza fondamentale della meccanica quantistica.
Strong subadditivity:
S_{A∪B} + S_{B∪C} ≥ S_B + S_{A∪B∪C}
Equivalentemente: S_A + S_C ≤ S_{A∪B} + S_{B∪C}
Monogamy of entanglement:
I(A:B) + I(A:C) ≤ I(A:BC) [per stati puri]
In AdS/CFT, la SSA segue dalla geometria minimale delle superfici RT: è possibile dimostrare la SSA come un semplice teorema geometrico sulla minimalizzazione dell'area in AdS. Questo è uno dei test più eleganti della formula RT: la SSA, che in QM richiede una dimostrazione algebrica non-triviale, diventa un semplice lemma geometrico.
La monogamia dell'entanglement pone vincoli sulla geometria del bulk: non tutte le geometrie sono compatibili con un'origine CFT. La geometria del bulk deve essere tale che le superfici RT soddisfino la SSA — e questo restringe le geometrie "ammissibili" olograficamente.