Il propagatore è la "linea" che rappresenta ogni particella virtuale all'interno di un diagramma di Feynman. Non è una particella reale: la sua massa può essere fuori dalla shell di massa (off-shell), ovvero k² ≠ m².
Propagatore del fotone:
D_μν(k) = −i g_μν / k²
Propagatore del fermione (elettrone):
S_F(p) = i(p̸ + m) / (p² − m² + iε)
Propagatore dello scalare (bosone di Higgs):
Δ(k) = i / (k² − m² + iε)
Il termine iε è la prescrizione di Feynman: sposta i poli dell'integrale fuori dall'asse reale, garantendo la causalità. Il propagatore completo è la funzione di Green del vuoto:
⟨0|T{φ(x)φ(y)}|0⟩ = ∫ d⁴k/(2π)⁴ · i/(k²−m²+iε) · e^{−ik(x−y)}
Il vertice QED è il mattone fondamentale dell'elettrodinamica quantistica: un elettrone (o positrone) emette o assorbe un fotone. È l'unico tipo di vertice in QED.
Il fattore di vertice è:
vertice = −ieγ^μ
dove e è la carica dell'elettrone e γ^μ sono le matrici di Dirac (4×4). Ogni vertice inserisce un fattore della costante di struttura fine:
α = e²/(4π) ≈ 1/137
La QED è una teoria perturbativa: ogni ordine dell'espansione aggiunge un vertice e un fattore α. Poiché α ≪ 1, la serie converge rapidamente. In ogni vertice vale la conservazione del quadrimomento: la somma dei quadrimomenti in ingresso eguaglia quella in uscita.
Lo scattering Compton è il processo in cui un fotone collide con un elettrone e viene diffuso con energia e direzione diverse. Al prim'ordine in QED esistono due diagrammi (canale s e canale u) che devono essere sommati.
L'ampiezza totale è:
M = (−ie)² ū(p') [γ^ν (p̸+k̸+m)/(s−m²) γ^μ + γ^μ (p̸−k̸'+m)/(u−m²) γ^ν] u(p) · ε*_ν ε_μ
Le variabili di Mandelstam descrivono la cinematica del processo a 2→2:
s = (p+k)² t = (p−p')² u = (p−k')²
s + t + u = 2m²
Da questo calcolo emerge la formula di Klein-Nishina, che descrive la sezione d'urto differenziale dello scattering Compton e fu la prima predizione quantistica verificata sperimentalmente.
Lo scattering di Møller (e⁻e⁻ → e⁻e⁻) coinvolge due elettroni identici che si scambiano un fotone virtuale. Per il principio di Pauli i fermioni identici sono antisimmetrici, quindi esistono due diagrammi con segno relativo −1:
M_Møller = M_t − M_u (antisimmetria fermionica)
Lo scattering di Bhabha (e⁻e⁺ → e⁻e⁺) coinvolge elettrone e positrone. Qui si sommano:
M_Bhabha = M_t + M_s (no antisimmetria: e⁻ ≠ e⁺)
Il segno è + (non −) perché e⁻ e e⁺ sono particelle distinguibili. Il canale s del Bhabha è il processo di annichilazione/creazione che avviene negli acceleratori e⁺e⁻ come LEP.
I diagrammi a loop rappresentano le correzioni quantistiche al prim'ordine in α. Tre tipi principali:
1. Vacuum polarization (polarizzazione del vuoto): il fotone virtuale "fluttua" in una coppia e⁻e⁺ e si ricongiunge. Rinormalizza la carica dell'elettrone — la costante di struttura fine dipende dall'energia:
α(M_Z) ≈ 1/128 (a 91 GeV) α(0) ≈ 1/137
2. Electron self-energy: l'elettrone emette e riassorbe un fotone virtuale. Contribuisce alla massa con una divergenza logaritmica → rinormalizzazione di m e del campo.
3. Vertex correction: un fotone virtuale collega le due linee fermioniche al vertice. Contribuisce al momento magnetico anomalo:
a_e = (g−2)/2 = α/(2π) + O(α²) ≈ 0.00116
L'accordo tra teoria e misura è di 12 cifre decimali — la predizione più precisa della fisica.
La Cromodinamica Quantistica (QCD) è la teoria delle forze forti tra quark. A differenza di QED (un solo tipo di vertice), QCD ha tre tipi di vertice:
1. Vertice quark-gluone:
g_s T^a_ij γ^μ
2. Vertice a tre gluoni (non esiste in QED!):
g_s f^{abc} [g^{μν}(k−p)^ρ + ciclici]
3. Vertice a quattro gluoni (non esiste in QED!):
g_s² f^{abe}f^{cde} [g^{μρ}g^{νσ} − g^{μσ}g^{νρ}] + ciclici
I vertici a 3 e 4 gluoni esistono perché i gluoni portano carica di colore (a differenza dei fotoni). Questo causa il confinamento (α_s ≈ 1 a basse energie) e la libertà asintotica (α_s → 0 ad alte energie — Nobel 2004).
Il decadimento beta a livello di quark: un quark d si trasforma in quark u emettendo un bosone W⁻ che poi decade in elettrone e antineutrino:
d → u + W⁻ → u + e⁻ + ν̄_e
Il bosone W (massa 80 GeV) è il mediatore della forza debole. Il fattore di vertice è:
g/√2 · γ^μ · (1−γ⁵)/2
Il proiettore (1−γ⁵)/2 seleziona solo gli stati left-handed — la forza debole viola la parità P (Lee e Yang 1956, Wu 1957)! La corrente è di tipo V−A:
J^μ_W = ū γ^μ (1−γ⁵)/2 d
La massa del W emerge dal meccanismo di Higgs: m_W = gv/2 ≈ 80 GeV, dove v = 246 GeV. Le transizioni tra quark di generazioni diverse avvengono tramite la matrice CKM.
Il bosone di Higgs (H, 125 GeV) si accoppia a tutte le particelle massive con intensità proporzionale alla loro massa. I principali accoppiamenti:
1. Accoppiamento di Yukawa H-f-f̄:
y_f = m_f √2 / v (v = 246 GeV)
y_top ≈ 1 · y_bottom ≈ 0.02 · y_tau ≈ 0.01
2. Accoppiamento H-W-W e H-Z-Z:
g_{HWW} = g²v/2 · g^{μν} g_{HZZ} = g²v/(2cos²θ_W)
3. Auto-accoppiamento H-H-H: determina la forma del potenziale a cappello messicano:
V(φ) = −μ²|φ|² + λ|φ|⁴ λ_{HHH} = λv
La produzione principale al LHC avviene tramite gluon fusion (ggH): un loop triangolare di quark top media l'accoppiamento gg→H.
I diagrammi a loop contengono integrali divergenti (ultravioletti): quando l'impulso interno k → ∞, l'integrale diverge. Esempio: self-energy del fotone a un loop:
Π(q²) ~ ∫ d⁴k / k⁴ → divergente (log)
Due passi per gestire le divergenze:
1. Regolarizzazione: introduce un cutoff Λ o usa la regolarizzazione dimensionale (d = 4−ε). In d dimensioni:
∫ d^dk/(k²)^n = iπ^{d/2}/Γ(n) · Γ(n−d/2)/(q²)^{n−d/2}
2. Rinormalizzazione: riassorbe le divergenze in una ridefinizione dei parametri:
m_bare = m_ren + δm
e_bare = Z_e · e_ren Z_e = 1 + O(α)
La QED è rinormalizzabile: bastano un numero finito di controtermine. Il gruppo di rinormalizzazione (RG) descrive come i parametri cambiano con la scala energetica μ — la "corsa" delle costanti di accoppiamento.
Le regole di Feynman sono un algoritmo per calcolare qualsiasi ampiezza di transizione in QFT:
L'ampiezza di transizione (matrice S):
⟨f|S|i⟩ = δ_{fi} + i(2π)⁴ δ⁴(Σp) M
La sezione d'urto differenziale:
dσ = |M|² / (4·p₁·p₂·|v₁−v₂|) · dΦ_n